INTRODUCTION

ифференциальные уравнения, описывающие одномерное течение ВОДЫ B открытых размываемых руслах предполагают использование следующих упрощающих предпосылок:

• Скорости постоянны в пределах каждого сечения потока. Для учета неравномерного распределения скоростей по поперечному сечению потока вводится корректив
• Давление в потоке подчиняется гидростатическому закону.
• Влияние турбулентного перемешивания воды и трения о стенки русла учитывается введением силы сопротивления с помощью известного соотношения Шези.
• Течение воды в русле подчиняется условию плавной изменяемости.

Естественные ВОДОТОКИ характеризуются относительно малыми количествами транспортируемой твердой взвеси. Поэтому для них уравнение движения смеси практически не будет отличаться от уравнений движения чистой жидкости /4/.

Исследование движения взвесенесущего потока предполагает использование закона сохранения вещества и закона изменения импульса для потока смеси - дисперсоида $/6/$.

Закон сохранения вещества записывается отдельно для жидкости в виде уравнения неразрывности и для твердой взвеси в виде уравнения деформации.

Закон изменения импульса осуществляется для случая реального движения вОДЫ способного передавать касательные напряжения окружающей среде, относительно которой oHa движется рассматривается для сил, действующих на единицу массы воды.

Таким образом, для случая одномерного течения воды в размываемых руслах система дифференциальных уравнений динамики русловых процессов может быть представлена в виде $/2/$:

Здесь х – продольная координата; t – время; у – высота свободной поверхности воды; z – высота дна водотока; Q – расход воды; A – площадь поперечного сечения потока; B – ширина водотока по верху; H — средняя глубина воды водотока; U - средняя скорость течения воды;${\mathsf{C}}_{\mathrm{m}}$- коэффициент Шези; G – средний весовой расход транспортируемых руслоформирующих.

наносов; ε - коэффициент пористости донных отложений; у – удельный вес транспортируемых твердых частиц наносов; 9 - ускорение силы тяжести.

Коэффициент Шези рассчитывается в работе по формуле:

где п – коэффициент шероховатости; R – гидравлический радиус.

Поток воды в размываемом русле вызывает перемещение твёрдых частиц наносов в направлении течения.

Обычно рассматривается несколько способов перемещения наносов: влечением по дну, сальтацией и BO взвешенном состоянии. Однако, чёткой, определённой границы между этими способами перемещения частиц наносов не существует.

Впервые И.В.Егиазаров $/5/$ рассмотрел единый механизм перемещения потоком воды твёрдых частиц, не прибегая к традиционному делению наносов на влекомые и взвешенные. Им было получено уравнение для полного твёрдого расхода наносов, как при влечении, так и при взвешивании.

Аналогичный единый механизм перемещения руслоформирующих наносов рассмотрел Ю.Г.Иваненко $/2,3/$.

Для замыкания системы уравнений (1), (2) и (3) B работе используется обобщенное уравнение транспортирования ПОТОКОМ руслоформирующих наносов Иваненко Ю.Г. $/2,3/$, записанное в виде:

Здесь W-средняя гидравлическая крупность транспортируемых руслоформирующих наносов; $\xi =0.057-$ доля энергии потока, которая расходуется Ha транспортирование ПОТОКОМ руслоформирующих наносов; ${\gamma }_{\mathbf{n}\gamma -}^{\prime }$ удельный вес твёрдых частиц наносов и воды.

В приведенной системе уравнений (1), (2) и (3), выбор необходимого числа функций МОЖНО комбинировать, используя для этой цели соотношения:

Уравнение деформации русла (3) получено в предположении, что ширина водотока по верху В изменяется вдоль потока незначительно, а русловые деформации проявляются главным образом в изменении отметок дна русла. Таким образом, полагаем в процессе расчетов $\mathsf{B}=$ const. –

Используя соотношения (4), (5) 6), преобразуем систему дифференциальных уравнений (1), (2) и (3) к виду:

Здесь F=(1−ε)(Y'−γ) C2Wω $\mathrm{F}=(1-\epsilon )\frac{({\gamma }^{\prime }-\gamma )}{\xi \gamma }\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{H}\mathrm{I}}^2\bar{\mathbf{W}}\mathfrak{O}}{4{\mathrm{U}}^3}$ (10)

Полученная система дифференциальных уравнений в частных производных (7), (8) и (9) с тремя неизвестными функциями Q, 0, Z, зависящими от двух независимых переменных х, t, может быть линеаризована.

Процесс линеаризации одномерных дифференциальных − уравнений динамики русловых ПОТОКОВ соCтоит B разложении параметров нестационарного течения воды при малых возмущениях на составляющие в виде

и отбрасывании высших степеней и произведений возмущений ∆Q. Δо, ΔZ и их производных. Параметры с индексом $\mathfrak{e}()⩾$ соответствуют условиям невозмущенного стационарного течения.

Для стационарного течения воды справедливы выражения:

В качестве начального невозмущенного течения будем рассматривать движение воды в призматическом русле, для которого справедливы следующие условия:

Применив соотношения (13), можно получить следующие линейные дифференциальные уравнения возмущенного движения жидкости $/2/$:

Здесь

Для русла, имеющего прямоугольную форму поперечногосечения, значение параметра $\mathrm{\Phi }$ определяется из соотношения $/2/$:

где ь – ширина русла по дну; т - заложение откоса.

Кинематическими волнами называются длинные волны, при распространении которых в открытом водотоке сохраняется однозначная связь между расходом и уровнем воды. Кинематические волны называются также моноклинальными волнами или волнами со стационарным профилем. Теория этих волн может быть применена для исследования волн паводка на реках, а также для расчета общего размыва русла.

Будем рассматривать уравнения динамики русловых потоков в виде (15), (16), (17) полагая, что допущение о сохранности однозначной связи между расходом и уровнем воды идентично тому, что ищется решение для ДН и ДQ в виде функции типа f $(\mathbf{X}-{\bar{\mathbf{C}}}_0\mathbf{t})$, где ${\bar{\mathbf{C}}}_0$ - постоянная. Следовательно,

Вводя оператор (22) в уравнение неразрывности (15), получаем

После интегрирования дифференциального уравнения

можно получить функцию

где А – постоянная.

Формула (24) является модификацией формулы Бретона /7,8/. Физически она означает скорость распространения расхода. Для малых возмущений расхода и уровня воды постоянная $\mathbf{A}=0$.

Используя соотношение (24), преобразуем систему уравнений (15), (17), к виду:

Получена система одномерных дифференциальных уравнений гиперболического типа динамики русловых потоков, которые могут быть применены ДЛЯ расчета общего размыва русла кинематическими волнами.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с частными производными для одной неизвестной функции Z двух независимых переменных \sf X _ { \textrm { H } } \sf Y _ { \textrm { { \left/ { \vphantom { \left| 1 \right.} \kern - delimiterspace } 1 \right/}, 2,9 } }:

Введем обозначения:

Коэффициенты f, 9, h определены и непрерывны в некоторой односвязной области координат (X, У), имеют непрерывные частные производные первого порядка и .

Сформулируем задачу Коши. Пусть требуется найти решение уравнения (28), удовлетворяющее функции

Для решения задачи Коши по полному интегралу следует функцию (29) подставить в уравнение полного интеграла и полученное уравнение продифференцировать по независимой переменной t /1,2,9/.И3 двух выведенных уравнений далее необходимо исключить независимую переменную t. Это приводит K получению соотношения между постоянными параметрами { \textsc { a } } _ { \textsc { i } } \beta в виде $\beta =\omega (\alpha )$.

Таким образом, можно определить семейство интегральных поверхностей, зависящее от одного параметра:

Продифференцируем (30) по параметру α и приравняем полученное соотношение нулю:

Исключив из двух полученных соотношений (30), (31)параметр α, получим решение искомой задачи Коши.

Линейные дифференциальные уравнения динамики русловых потоков для случая кинематических волн получены в виде (26) и (27). В этих уравнениях параметры ДQ и Д носят название малых возмущений расхода и отметки дна водотока и отвечают режиму неустановившегося течения для случая кинематических волн. Они характеризуют изменение этих параметров относительно начального положения. Параметры с индексом $\mathrm{\backslash }{\mathtt{(}\mathtt{)}}_{\mathtt{N}}$ отвечают режиму невозмущенного установившегося течения воды.

Преобразуем дифференциальные уравнения (26), (27) к виду $/2/$:

\begin{array}{l} \frac{\partial \Delta Q}{\partial t} + \overline{{C}} _ {0} \frac{\partial \Delta Q}{\partial x} + g \omega_ {0} \frac{\partial \Delta Z}{\partial x} = \\= \overline{{\Pi}} _ {0} \left\{2 \left[ \frac{\overline{{C}} _ {0}}{2} - \sqrt{\left(\frac{\overline{{C}} _ {0}}{2}\right) ^ {2} + g \omega_ {0} \frac{\left(\overline{{C}} _ {0} - U _ {0}\right)}{\overline{{C}} _ {0} \overline{{F}} _ {0}}} \right] \Delta Q + 2 g \omega_ {0} \Delta Z \right\} ^ {\prime} (32) \\\left(\overline{{\mathrm{C}}} _ {0} - \mathrm{U} _ {0}\right) \frac{\partial \Delta \mathrm{Q}}{\partial \mathrm{x}} + \overline{{\mathrm{C}}} _ {0} \overline{{\mathrm{F}}} _ {0} \frac{\partial \Delta \mathrm{Z}}{\partial \mathrm{t}} = 0, (33) \\end{array}

где По - осредненное значение возмущений по расходу и отметке дна водотока на участке дифференцирования;

Здесь Со -скорость раепространения волны ${\bar{\mathbf{C}}}_0$ возмущения расхода для случая кинематических волн. Введем обозначения:

Вместо системы уравнений (26), (27) будем решать преобразованную систему (33), (34):

Подстановкой вида

система уравнений (37), (38) приводится к одному гиперболическому дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка относительно функции $\dot{\mathrm{\Delta }\mathrm{Q}(\mathrm{x},\mathrm{t})}$

где М - постоянный параметр, определяемый из начальных условий.

Общим решением дифференциального уравнения (40) является соотношение в виде полного интеграла:

где функция ф и постоянный параметр С определяются из граничных условий.

Применив теорию полного интеграла, будем искать решение, описывающее процесс трансформации волны возмущения одного направления, движущейся в бесконечно длинном призматическом канале с начальным равномерным режимом течения воды.

Пусть для уравнения (41) граничные условия в створе возмущения задаются в виде

где К и Р - постоянные параметры.

Подставив (42) в уравнение полного интеграла (41),найдем:

Уравнение (43) продифференцируем по независимой переменной t:

Из (44) найдем выражение для t в виде:

Исключив из двух соотношений (43) и (45) переменную t, определим значение постоянного параметра C:

Подставив (46) в уравнение (41), получим:

Продифференцируем (47) по параметру Ф и полученное уравнение приравняем нулю

Из (49) определим параметр Ф:

Подставив (49) в (47), получим искомое решение в виде:

Задаваясь граничными условиями:

из (51) определим:

Подставив значение параметра (52) B соотношение (50), найдем:

Пусть для уравнения (53) граничные условия в створе возмущения задаются в виде:

где ∆Qmaх максимальное приращение величины расхода воды, равное расходу попуска. Из (50) определим:

Подставив параметры (55) и (56) в (50), найдем:

\begin{array}{l} \begin{array}{r l} & {\frac{2 \overline{{\Pi}} _ {0} (\mathsf{\Pi} - \Gamma)}{(\mathsf{\Pi} + \Gamma)} [ \mathbf{x} - (\mathsf{\Pi} + \Gamma) \mathbf{t} - (\mathsf{\Pi} - \Gamma) \mathbf{T} ]} \\& {\Delta Q = \{\mathbf{M} [ e ^ {- \mathsf{\Pi} (\mathsf{\Pi} + \Gamma)} - \mathbf{e} ^ {- 2 \overline{{\Pi}} _ {0} (\mathsf{\Pi} - \Gamma) \mathbf{t}} ] -} \\- \frac{\Delta Q _{max}}{e ^ {- 2 \bar{\Pi} _ {0} (\bar{\Omega} - \Gamma) T}} e ^ {\frac{2 \bar{\Pi} _ {0} (\bar{\Omega} - \Gamma)}{(\bar{\Omega} + \Gamma)} [ x - (\bar{\Omega} + \Gamma) t - (\bar{\Omega} - \Gamma) T ]} + \Delta Q _{max} \} \tag{57} \\\end{array} \\end{array}

Из соотношения (39), подставив в него (57), найдем:

Пусть для уравнения (58) граничные условия в створе возмущения задаются в виде

величины размыва дна русла, равное глубине местного размыва.

Подставив (59) в уравнение (58), найдем:

Пусть для уравнения (58) граничные условия в створе возмущения задаются в виде

Подставив (61) в уравнение (58), найдем:

Подставив параметры (60) и (62) в уравнения (57) и (58), найдем:

Получена система аналитических решений (63) (64) одномерных дифференциальных уравнений гиперболического типа динамики русловых потоков, которые могут быть применены для расчета общего размыва русла кинематическими волнами. Решения выведены для граничного условия в створе возмущения, соответствующего изменению расхода в створе возмущения по закону (42).

При расчетах параметр времени задается в секундах. При необходимости, перерасчет в сутки осуществляется после завершения расчетов.

На основе полученных решений разработана математическая модель трансформации продольных профилей рек, при сбросе воды из водохранилища.

I. Пример Расчета.

Задано. При сбросе воды из водохранилища изменение расхода в начальном створе $(\mathbf{x}=0)$ нижнего бьефа гидроузла подчиняется закону в виде:

где ${\mathrm{Q}}_0=340{\mathcal{M}}^3/c\bar{\cdot }$ начальный расход при равномерном режиме течения воды в русле; ${\mathrm{Q}}_{\mathrm{\Pi }0\mathrm{\Pi }}=200M^3/c$ - расход попуска.

Изменение величины расхода в начальном створе $(\mathbf{x}=0)$ нижнего бьефа гидроузла подчиняется закону (42).

Рассчитать изменения расхода попуска величины размыва дна русла в зависимости от времени в фиксированном створе $\mathtt{X}=5000\mathbf{M}$ если в начальный момент в призматическом русле реки на расчетном участке наблюдался режим течения, близкий K равномерному. Морфометрические характеристики, гидравлические параметры и характеристики грунта донных отложений на расчетном участке реки, соответствующие равномерному режиму течения, заданы в виде:

I. Решение.

1. Рассчитаем значения параметров ${\mathbf{C}}_{\mathrm{m}},{\mathbf{C}}_0,\beta ,\lambda ,\mathrm{\Phi },\bar{\mathbb{F}}$ ${\bar{\mathrm{F}}}_0$ по формулам (4),(18). (19), (20), (21):

1. Рассчитаем значения паметров ${\bar{\mathrm{\Pi }}}_0,{\bar{C}}_0$,Д, Гпо формулам (34. (35), (36):

3. По формуле

• определяем время распространения начального возмущения до расчетного створа Х.

1. Изменения расходов воды и отметок дна русла будем рассчитывать по формулам (63) и (64).

Результаты расчетов приведены в таблице 1 и на рисунках 1 и 2.

Таблица 1: Изменение расхода попуска и отметок дна русла от времени в расчетном створе $\mathtt{X}\mathtt{=}{\mathtt{5000}}_{\mathtt{M}}$

Врей, Сек.	Врей, сут.	ΔZpacч'	ΔQpacч'
		M	M3/c
1250000	0	0	0
2500000	29	1,428	114
3000000	35	1,736	139
4000000	46	2,111	169
5000000	58	2,302	184
6000000	69	2,399	192
6500000	75	2,428	194
7000000	81	2,449	196
8000000	93	2,474	198
9000000	104	2,486	199
10000000	116	2,493	199
12000000	139	2,498	200
15000000	174	2,5	200
20000000	231	2,5	200

Рисунок 1: График зависимости изменения расхода попуска от времени в сутках в расчетном створе $\mathtt{X}\mathtt{=}{\mathtt{5000}}_{\mathtt{M}}$ Рисунок 2: График зависимости изменения отметок дна русла от времени в сутках в расчетном створе $\mathtt{X}\mathtt{=}{\mathtt{5000}}_{\mathtt{M}}$.

IV. Выводы.

1. В работе разработан аналитический метод решения одномерных линейных дифференциальных уравнений динамики русловых ПОТОКОВ полуограниченной протяженности для случая кинематических волн.

2. C применением теории полного интеграла выполнен гидравлический расчет изменения расхода попуска и деформации отметок дна русла от времени в расчетном створе $\mathtt{X}\mathtt{=}\mathtt{5000}\mathtt{m}$.