### 1. Введение устройства различных видов искусственных оснований и пределы применимости различных методов уплотнения грунтов в зависимости от свойства оснований конструкции сооружений. А. Л. Гольдин, С. Р. Месчян, Г.Ф. Рустамян (Гольдин, Месчян, Рустамян1985) решили плоской задачи консолидации водо- насыщенногоглинистого грунта с учетом вибрационной ползучести скелета, при пренебрежение сжимаемости твердых частиц и поровой воды и изменяемость коэффициента фильтрации. Для решения этой задачи использовано обычное уравнение плоской задачи фильтрационной консолидации. При выводе общего уравнения вибрационной консолидации грунтового основания с учетом вибрационной ползучести скелета его мера представлена в виде произведения меры статические ползучести и функции амплитуды колебания. С. Я. Кушнир (Кушнир 1988) исследовала консолидационные явления в торфяных грунтах при динамических воздействиях. Л.Б. Маслов (Маслов 2012) рассмотрел теоретические вопросы расчета вынужденных гармонических колебаний пористых структур в насыщенных жидкостью. Показано, что с увеличением частоты возбуждения эффект инерционного взаимодействия фаз пороупругогоматериала становится весьма существенным, особенно для амплитуд давления жидкости в порах. В статье О.П. Минаева (Минаев 2018) приведены результаты теоретического обоснования на примере разработанной аналитической расчетной модели и полевых испытанийметода глубинного виброуплотнения оснований. Ш.Алтынбеков (Алтынбеков2016, 2018) сформулировал многопараметрической математической модели задачи вибрационной консолидации соленых и несоленых грунтов. Иследовал вопросы существования и единственности. Обосновал методы решения. Задача сводится к конечно - разностной краевой задаче, для которой исследована погрешность локально – одномерной схемы. Даны априорные оценки и ее решения. Приведены результаты предварительных расчетов. В статьях Гейдт (2018а и 2018 ъ)решение уравнения консолидации получено без каких-либо дополнительных допущений кроме учета начальных условии. Решение показывает, что после выключения вибрационного воздействия отсутствует какой - либо остаточный эффект влияния вибрационного воздействия. Е. С. Соболев (Соболев 2014), А.3. Тер- Мартиросян (Тер-Мартиросян 2010).Е.Л. Усошина (Усошина 2016) внесли определенные вклады в повышения надежности работы оснований зданий и сооружений. Анализ существующих работ привел к следующему выводу: характер влияния вибрационных воздействий на уплотнение грунта является очень сложным и недостаточно исследованным. Пути исследователи столкнулись с целым рядом серьезных проблем, связанных главным образом с не изученностью динамического воздействия на процесс консолидации связных грунтов. Фундамент турбоагрегатов атомной электростанций представляют собой сложную конструкцию, включающую нижнюю фундаментную плиту,систему колонн- стоек и систему верхних ригелей. Жесткие крепления вала-провода системы «турбина- генераторв подшипниках допускают весьма малое смещение опор подшипников и таким образом накладывают жесткие ограничения на прогибы нижних фундаментных плит. Современные технические условия ограничивают эти прогибы величинами 1/10000 длины фундаментной плиты для турбоагрегатов мощностью до 300 мВт. В случае строительства атомных электростанции наглинистых водо-насыщенных основаниях в результате процессов консолидации и ползучести скелета грунта имеет место нарастание прогибов фундаментов во времени, которое необходимо прогнозировать для оценки надежности турбоагрегатов. Надежность турбоагрегатов в значительной мереопределяется их вибрационным состоянием и характером уплотнения грунтовых оснований. При неравномерной осадке грунтовых оснований возникает неуравновешенная центробежная сила, что не желательно на практике. При столь малых величинах допускаемых прогибов возникает необходимость в разработке совершенных методов расчета, в которых с наибольшей полнотой учитывались бы реальные свойства глинистых грунтов. До настоящего времени во всех существующих исследованиях начальный коэффициент пористости считался постоянной величиной. В действительности он не является постоянной величиной, он зависит от пространственных координат. Это утверждение особенно верно, когда изучаемые объекты являются неоднородной пористой средой. Не исследовано влияние переменность начального коэффициента пористости на характер уплотнения грунтов. В расчетах недостаточно изучены влияния параметров неоднородности, степени физической нелинейности, краевых условий, переменности коэффициентов фильтрации, бокового давления, мгновенного уплотнения и начального коэффициента пористости на характер вибрационной консолидации грунтов.Как известно, воздействия вибрации приводит к дополнительным остаточным осадкам. Грунт испытывает вибрационный эффект и со временем в зависимости от физико – механических свойств, амплитудой и частотой колебании могут плотно уплотнятся. Влияние вибрации на деформации плотных уплотненных грунтов изучено недостаточно полно. В работах (Гольдин, Месчян, Рустамян 1985), (Алтынбеков 2016, 2018) при учете вибрационной ползучести скелета грунта, функция, характеризующая деформации ползучести представлены в виде произведение меры статической ползучести и функции амплитуды колебаний. Возможность такой постановки вопроса ограничено. Распределение волн вибрации в грунтовых основаниях остается в тени.В работе все эти вопросы находит свои ответы. С целью теоретического исследования данных вопросов рассмотрим следующую задачу. ## II. Постановка Задачи. Рассмотрим уплотнение земляной среды, находящееся под действием распределенной нагрузки с интенсивностью q. Чтобы изучить этот процесс, позвольте: - Грунт состоит из твердой и жидкой фаз. - Модуль деформации грунта и коэффициент бокового давления в процессе уплотнения изменяются по глубине соответственно с законами: $$ E (x _ {3}) = E _ {0} (\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} x _ {3}}) ^ {- 1}, $$ $$ a \left(x _ {3}\right) = \frac {1}{E \left(x _ {3}\right)} = a _ {0} \left(\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} x _ {3}}\right), \tag {1} $$ $$ \xi\left(x_{3}\right) = \xi_{0} e^{-\alpha_{4} x_{3}} $$ где $E _ { 0 }, a _ { 0 } \xi _ { 0, } { \alpha _ { 1 } }, \alpha _ { 2, } { \alpha _ { 3 } }, \alpha _ { 4 }$ - опытные данные, Уравнение состояния скелета грунта представлено в виде $$ \varepsilon (t) = \varepsilon (\tau_ {1}) - \frac {1}{1 + (n - 1) \xi (x)}. $$ $$ \left. \cdot \left\{a \left(x _ {3}\right) \theta (t) - \int_ {\tau_ {1}} ^ {t} \theta (t) K (t, \tau , x, \theta (t)) d \tau \right\} \right. \tag {3} $$ $$ K(t,\tau,x,\theta(t))=\eta(x)\frac{f(\tau,\theta(\tau))}{\theta(\tau)} * \frac{\partial C(t,\tau,\theta(\tau))}{\partial \tau}, $$ Суммаглавных нормальных напряжений (гипотеза Флорин1961) определена в виде $$ \theta (x, t) = n \gamma \left(H _ {0} (x) - H (x, t)\right) \tag {5} $$ Функция С(t,, (т)) в (4), характеризующая деформации вибрационной ползучести скелета грунта, аппроксимирована выражением $$ C (t, \tau , \theta (\tau)) = \varphi (\tau , \theta (\tau)) (t - \tau) ^ {\tilde {m}} U (x, t), \tilde {m} > 1, \tag {6} $$ Функцияп $( x )$,характеризующая коэффициент деформации ползучести принята в виде $$ \eta (x) = \alpha_ {5} + \alpha_ {6} e ^ {- \alpha_ {7} x _ {3}} \tag {7} $$ Функция $( \tau, \theta ( \tau ) )$, входящая в (4), представлена в следующем виде: $$ f (\tau , \theta (\tau)) = \beta_ {1} (\tau) \theta (\tau) + \beta_ {2} (\tau) \theta^ {m} (\tau), m > 0 \tag {8} $$ В качестве функции старения предложены: $$ \varphi (\tau , \theta (\tau)) = C _ {0} + \frac {A _ {k}}{\tau^ {k} + B _ {k} \theta (\tau)} \tag {9} $$ $$ \beta_ {1} (\tau) = \beta_ {10} + \frac{\beta_ {11}}{\tau^ {k} + \beta_ {12}}, \beta_ {2} (\tau) = \beta_ {20} + \frac{\beta_ {21}}{\tau^ {k} + \beta_ {22}}, k > 0 $$ Начальный коэффициент включен в (3) представлена в следующем виде: $$ \varepsilon \left(x _ {1}\right) = \alpha_ {8} c h \left(\alpha_ {q} x _ {l}\right) \cdot \alpha_ {1 0} c h \left(\alpha_ {1 1} x _ {2}\right) \cdot \alpha_ {1 2} e ^ {- \alpha_ {1 3} x _ {3}}, \tag {11} $$ $$ 0 < \alpha_ {8} < 1, 0 < \alpha_ {9} < 1, 0 < \alpha_ {1 0} < 1, 0 < \alpha_ {1 1} < 1, $$ $$ 0 < \alpha_ {1 2} < 1, 0 < \alpha_ {1 3} < 1 $$ Здесь $\varepsilon ( t )$ -коэффициент пористости; $\varepsilon ( \tau _ { 1 } )$ - начальный коэффициент пористости $\tau$ - возраст скелета грунта; $\mathrm { ~ n ~ } = 1,2,3$ в зависимости от мерности рассматриваемой задачи,у- удельный вес воды; $\begin{array} { r } { \mathrm { H } _ { 0 } ( \mathbf { x } ), \mathrm { H } ( \mathbf { x }. \mathrm { t } ). } \end{array}$ функции напоров; $\mathbf { x } { = } ( x _ { 1 }, x _ { 2 }, x _ { 3 } )$ пространственные координаты; $C _ { 0 ^ { - } }$ предельное значение меры ползучести; $A _ { k }$ $B _ { k } -$ некоторые параметры, зависящие от свойства и условий старения среды; $\alpha _ { 5 }, \alpha _ { 6 }, \alpha _ { 7 }, \alpha _ { 8 }, \alpha _ { 9 }, \alpha _ { 10 }, \alpha _ { 11 }, \alpha _ { 12 }, \alpha _ { 13 }, \widetilde { m }, m, k, \beta _ { 10 }, \beta _ { 11 }, \beta _ { 12 }, \beta _ { 20 }, \beta _ { 21 }, \beta _ { 22 }$ - опытные данные. Коэффициент фильтрации линейно зависит от коэффициента пористости $$ K _ {s} = K _ {0 s} + K _ {1 s} \varepsilon (x, t), s = 1, 2, 3, \tag {12} $$ где $K _ { 0 s } > 0, K _ { 1 s } > 0$ - опытные данные. - Уплотнение грунта подчинена модели (Терцаги1933)– (Флорина 1948) - На поверхности земной породы происходит переменный водо-обмен с окружающей средой. Тогда математическая модель вибрационной консолидации неоднородного грунта в области $\varOmega _ { \infty } = G \times ( t, \infty )$ описывается в следующей краевой задачи $$ \frac {\partial H}{\partial t} = C _ {v} (x _ {3}) \sum_ {s = 0} ^ {3} \frac {\partial}{\partial x _ {s}} \bigg ((K _ {s} (x, \tau , t, H _ {0}, U, H) \frac {\partial H}{\partial x _ {s}} \bigg) + $$ $$ + C _ {1} (x, \tau , t, H _ {0}, U, H) = L (H), x, t \in \Omega_ {\infty} = G \times (t, \infty), \tag {13} $$ $$ G = (- l _ {1} \leq x _ {1} \leq l _ {1}, - l _ {2} \leq x _ {2} \leq l _ {2}, 0 \leq x _ {3} \leq h) $$ $$ \left. H \right| _ {t = \tau_ {1}} = H _ {0} (x), x \in G, \tag {14} $$ $$ \chi_ {1} ^ {(1)} \frac{\partial H}{\partial x _ {1}} - \chi_ {1} ^ {(2)} H | _ {x _ {1} = - l _ {1}} = \psi_ {1} (x _ {2}, x _ {3}, t), \chi_ {1} ^ {(3)} \frac{\partial H}{\partial x _ {1}} + \chi_ {1} ^ {(4)} H | _ {x _ {1} = l _ {1}} = \psi_ {2} (x _ {2}, x _ {3}, t), \qquad (15) $$ $$ \chi_ {2} ^ {(1)} \frac{\partial H}{\partial x _ {2}} - \chi_ {2} ^ {(2)} H | _ {x _ {1} = - l _ {2}} = \psi_ {3} (x _ {1}, x _ {3}, t), \quad \chi_ {2} ^ {(3)} \frac{\partial H}{\partial x _ {2}} + \chi_ {2} ^ {(4)} H | _ {x _ {1} = l _ {2}} = \psi_ {4} (x _ {1}, x _ {3}, t), \tag{16} $$ $$ \chi_ {3} ^ {(1)} \frac{\partial H}{\partial x_ {3}} - \chi_ {3} ^ {(2)} H | _ {x_ {3} = 0} = \psi_ {5} (x_ {1}, x_ {2}, t), \quad \chi_ {3} ^ {(3)} \frac{\partial H}{\partial x_ {3}} + \chi_ {3} ^ {(4)} H | _ {x_ {3} = h} = \psi_ {6} (x_ {1}, x_ {2}, t), \qquad (17) $$ Здесь $$ C _ {v} (x _ {3}) = \frac {(1 + \varepsilon_ {c p}) (1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} x _ {3}})}{3 a _ {0} \gamma (\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} x _ {3}})}, \tag {18} $$ $Xn$ γ(α) Xn (d+1) $\scriptstyle \alpha = 1,2,3$; $\mathrm { ~ n ~ } = \ 1,2,3$ -коэфициенты водотдачи, удовлетворяющие условиям: xt ≥ 0, x(+1) ≥ ((x(i)2 + t (x(a+1)2 0 для люобогох G; $\psi ( x, t ) -$ напор водоносного горизонта, прилегающего к рассматриваемой территории; виды $$ функций C1(x,τ,t,H,U,H), К(x,τ,t,H,U,H)(s = 1,2,3) в (13) определяются зависимостями (1), (2) (3), (4) (5),(6),(7),(8),(9),(10),(11)и (12). Эти функции непрерывны и ограниченны. $$ Следует отметить, что функция $H _ { 0 } ( x )$ в (5) и (14), то есть $$ \begin{array}{l} H _ {0} (x) = \sum_ {i _ {1} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {2} = 1} ^ {\infty} D _ {0 i _ {1} i _ {2}} \left(\cos \frac {v _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1 1}}} x _ {1} + B _ {1 i _ {1}} \sin \frac {v _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1 1}}} x _ {1}\right) \times \\\times \left(\cos \frac {\rho_ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {1 2}}} x _ {2} + B _ {2 i _ {2}} \sin \frac {\rho_ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {1 2}}} x _ {2}\right). \\\left(c h \sqrt {\frac {v _ {i _ {1}} ^ {2} + \rho_ {i _ {2}} ^ {2}}{K _ {1 3}}} x _ {3} + B _ {3 i _ {1} i _ {2}} s h \sqrt {\frac {v _ {i _ {1}} ^ {2} + \rho_ {i _ {2}} ^ {2}}{K _ {1 3}}} x _ {3}\right) \tag {19} \\\end{array} $$ решение задачи $$ K _ {0 1} \frac {\partial^ {2} H _ {0}}{\partial x _ {1} ^ {2}} + K _ {0 2} \frac {\partial^ {2} H _ {0}}{\partial x _ {1} ^ {2}} + K _ {0 3} \frac {\partial^ {2} H _ {0}}{\partial x _ {1} ^ {2}} = 0, x \in G $$ $$ \chi_ {1} ^ {(1)} \frac {\partial H _ {0}}{\partial x _ {1}} - \chi_ {1} ^ {(2)} H _ {0} | _ {x _ {1} = - \ell_ {1}} = 0, \quad \chi_ {1} ^ {(3)} \frac {\partial H _ {0}}{\partial x _ {1}} + \chi_ {1} ^ {(4)} H _ {0} | _ {x _ {1} = \ell_ {1}} = 0, $$ $$ \chi_ {2} ^ {(1)} \frac {\partial H _ {0}}{\partial x _ {2}} - \chi_ {2} ^ {(2)} H _ {0} | _ {x _ {2} = - \ell_ {2}} = 0, \quad \chi_ {2} ^ {(3)} \frac {\partial H _ {0}}{\partial x _ {2}} + \chi_ {2} ^ {(4)} H _ {0} | _ {x _ {2} = \ell_ {2}} = 0, $$ $$ \chi_ {3} ^ {(1)} \frac {\partial H _ {0}}{\partial x _ {3}} - \chi_ {3} ^ {(2)} H _ {0} | _ {x _ {3} = 0} = 0, $$ $$ \chi_ {3} ^ {(3)} \frac{\partial H _ {0}}{\partial x _ {3}} + \chi_ {3} ^ {(4)} H _ {0} | _ {x _ {3} = h} = \frac{q}{\gamma},\|x _ {1} | \le a, |x _ {2} | \le b, $$ $$ \chi_ {3} ^ {(3)} \frac{\partial H _ {0}}{\partial x _ {3}} + \chi_ {3} ^ {(4)} H _ {0} | _ {x _ {3} = h} = 0, $$ где $D _ { 1 i j }, B _ { 1 i }, B _ { 2 j } { \mathrm { \scriptscriptstyle t r } } F _ { i j } -$ известные коэффициенты, определяемые в процессе решения задачи, $\mu _ { 1 i }$, $\mu _ { 2 i }$ - положительные корни уравнения вида $$ c t g \mu = \frac {\chi_ {s} ^ {(1)} \chi_ {s} ^ {(3)} \frac {\mu^ {2}}{4 l _ {s} ^ {2}} - \chi_ {s} ^ {(2)} \chi_ {s} ^ {(4)}}{\left(\chi_ {s} ^ {(1)} \chi_ {s} ^ {(4)} + \chi_ {s} ^ {(2)} \chi_ {s} ^ {(3)}\right) \frac {\mu}{4 l _ {s}}}, s = 1, 2; \tag {20} $$ Функция $U ( x, t )$ B (6) $$ U (x, t) = \sum_ {i _ {1} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {2} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {3} = 1} ^ {\infty} \left(\widetilde {\mathrm {A}} _ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} c o s \pi \tilde {\lambda} _ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} a _ {0} t + \tilde {B} _ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} s i n \pi \tilde {\lambda} _ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} a _ {0} t\right) \times $$ $$ \times \left(\cos \frac {\widetilde {v} _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1}}} x _ {1} + \widetilde {B} _ {1 i _ {1}} \sin \frac {\widetilde {v} _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {2}}} x _ {1}\right) \times \left(\cos \frac {\widetilde {\rho} _ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {2}}} x _ {2} + \widetilde {B} _ {2 i _ {2}} \sin \frac {\widetilde {\rho} _ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {2}}} x _ {2}\right) \widetilde {\nabla} _ {\nu_ {i _ {1} i _ {2}}} \left(\frac {2 \widetilde {\lambda} _ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}}}{\widetilde {\alpha} \sqrt {K _ {3}}} e ^ {- \frac {\widetilde {\alpha}}{2} x _ {3}}\right) (2 1) $$ решение задачи $$ \frac {\partial^ {2} U}{\partial t ^ {2}} = a _ {0} ^ {2} e ^ {- \widetilde {\alpha} x _ {3}} \left(K _ {1} \frac {\partial^ {2} U}{\partial x _ {1} ^ {2}} + K _ {2} \frac {\partial^ {2} U}{\partial x _ {2} ^ {2}} + K _ {3} \frac {\partial^ {2} U}{\partial x _ {3} ^ {2}}\right) $$ $$ U (x, 0) = \tilde {\varphi} (x), \frac {\partial U (x , 0)}{\partial t} = \tilde {\psi} (x) $$ $$ \tilde {\chi} _ {1} ^ {(1)} \frac {\partial U}{\partial x _ {1}} - \tilde {\chi} _ {1} ^ {(2)} U | _ {x _ {1} = - \ell_ {1}} = 0, \tilde {\chi} _ {1} ^ {(3)} \frac {\partial U}{\partial x _ {1}} + \tilde {\chi} _ {1} ^ {(4)} U | _ {x _ {1} = \ell_ {1}} = 0, $$ $$ \tilde {\chi} _ {2} ^ {(1)} \frac {\partial U}{\partial x _ {2}} - \tilde {\chi} _ {1} ^ {(2)} U | _ {x _ {2} = - \ell_ {2}} = 0, \tilde {\chi} _ {2} ^ {(3)} \frac {\partial U}{\partial x _ {2}} + \tilde {\chi} _ {2} ^ {(4)} U | _ {x _ {2} = \ell_ {2}} = 0, $$ $$ \tilde {\chi} _ {3} ^ {(1)} \frac {\partial U}{\partial x _ {3}} - \tilde {\chi} _ {3} ^ {(2)} U | _ {x _ {3} = 0} = 0, \tilde {\chi} _ {3} ^ {(3)} \frac {\partial U}{\partial x _ {3}} + \tilde {\chi} _ {3} ^ {(4)} U | _ {x _ {3} = h} = 0, $$ Здесь: $\widetilde { \cal A } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } }, \widetilde { \cal B } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } }, \widetilde { \cal B } _ { 1 i _ { 1 } }, \widetilde { \cal B } _ { 2 i _ { 2 } }.$ известные коэффициенты,определяемые из начальных и граничных условий; $\widetilde { \mathsf { V } } _ { \nu _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } } ( x _ { 3 } )$ - функция состоящая из комбинации функций Бесселя первого и второго рода индекса $\nu _ { i _ { 1 } i _ { 2 } }$; $\tilde { \lambda } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } }.$ положительные корни уравнения, составленного из комбинаций этих функций; $\widetilde { \nu } _ { i _ { 1 } }, \widetilde { \rho } _ { i _ { 2 } }$ положительные корни уравнения вида (20); $K _ { s }$ $\mathit { \Pi } _ { S } = 1,2,3$ -коэффициенты, характеризующие сопротивление пористой средыдвижущихся волнн(+1) $\tilde { \chi } _ { n } ^ { \alpha } \kappa \tilde { \chi } _ { n } ^ { ( \alpha + 1 ) } ( \alpha = 1,2,3; n = 1,2,3 ) \cdot$ коэфициенты волно отдачи, удовлетворяющиеусовиям: $\tilde { \chi } _ { n } ^ { ( \alpha ) } \geq ~ 0$, $\tilde { \chi } _ { n } ^ { ( \alpha + 1 ) } \geq 0, ( \tilde { \chi } _ { n } ^ { ( \alpha ) } ) ^ { 2 } + ( \tilde { \chi } _ { n } ^ { ( \alpha + 1 ) } ) ^ { 2 } \neq 0 \mathrm {, / I J } \mathfrak { A }$ любогоо $x \in G$ yравнения $$ K _ {3} Z" (x _ {3}) + \left(\tilde {\lambda} ^ {2} e ^ {- \tilde {\alpha} x _ {3}} - (\tilde {\nu} ^ {2} + \tilde {\rho} ^ {2})\right) Z (x _ {3}) = 0 $$ последовательным введением новых переменных (Коренев 1960) $$ y = - \frac{\widetilde{\alpha}}{2 h} x _ {3} + \frac{1}{2} l n \frac{4 h ^ {2} \widetilde{\lambda} ^ {2}}{\widetilde{\alpha} ^ {2} K _ {3}} \mathrm{ и } z = e ^ {y} $$ приведено к уравнению Бесселя (Коренев 1971),общее решение которого известно; ортогональность функций $\left\{ \widetilde { \mathsf { V } } _ { \nu _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } } ( x _ { 3 } ) \right\} \mathrm { c }$ BecOM $e ^ { - \widetilde { \alpha } x _ { 3 } }$ очевидно и не требуется вдоказательстве. ## II. Существование И Единственность Решения ### Теорема 3.1. Пусть $C _ { v } ( x _ { 3 } )$ ${ } _ { 3 } ), ~ C _ { 1 } ( x, \tau, t, H _ { 0 }, U, H ), K _ { s } ( x, \tau, t, H _ { 0 }, U, H ) ( s = 1,2,3 ) -$ положительные функции класса $C ^ { 2 } ( x \in G, 0 \leq \tau _ { 1 } \leq t < T < \infty )$ $C ( Q _ { \infty } )$,функция $H ( x, t )$ удовлетворяет уравнению (12) в $Q _ { \infty }$, начальному условию (13) и граничным условиям (14), (15), (16) и $L ( H ) \geq 0 ( L ( H ) \leq 0 )$ $Q _ { \infty }$,функция $H _ { 0 } ( x )$ содержится в области определения оператора Лапласа. Тогда задача (13), (14), (15), (16), (17) имеет единственное решение. Это решение непрерывно зависит от начальных и граничных данных, параметров коэффициентов фильтрации, мгновенного уплотнения и бокового давления, а также свободного элемента. Доказательствотеоремы 3.1 приводитсяпо той же схеме, что и доказательство теоремыприведенной в работах В. С. Владимирова 26, В. Я. Арсенина 27, Ш. Алтынбекова 28,29,30. В доказательстве учтены: свойства параметров уравнение состояние среды (4); гипотеза В.А.Флорина (5); условия гладкости и условие согласованности; принципы максимума и минимума; теоремы С. Банаха и разложения по собственным функциям; признаки сходимости мажорируемых рядов. В ходе доказательства подтверждено физически очевидный факт, что давление в поровой жидкости движется только из мест с высоким давлением в место с более низким давлением. ## IV. Методы Решения Задачи. Существует многочисленные методы расчетов фильтрации жидкости 31,32,33,34,35. и фильтрационной консолидации грунтов 15,16,36,37,38,39,40,41. Здесь предпочтение отдается итерационному методу, методу введения новой неизвестной функции, методу преобразования неоднородных граничных условий в однородные, методу Фурье, методу аппроксимации, методу введения новых переменных и теоремеоразложенийпо собственным функциям. Представим итерационный метод в виде теоремы. Теорема 4.1 (метод итерации). Пусть выполняются условия теоремы3.1. Н(х,t) – решение задачи (13), (14), (15), (16), (17) и Нк(х, t)(к=1,2,3..) – решение дифференциального уравнения $$ \frac{\partial H_{k}}{\partial t} = C_{v}(x_{3}) \cdot \left(K_{11} \frac{\partial^{2} H_{k}}{\partial x_{1}^{2}} + K_{12} \frac{\partial^{2} H_{k}}{\partial x_{2}^{2}} + K_{13} \frac{\partial^{2} H_{k}}{\partial x_{3}^{2}}\right) + \Phi_{k-1}(x,t), $$ $$ k = 1, 2, 3, \dots , \tag {22} $$ удовлетворяющие начальным (14) и граничным условиям (15), (16), (17), и $\mathrm { H } > \mathrm { H } _ { 1 }$.Тогда последовательность $\{ \mathrm { H _ { k } } \}$ − $( \mathrm { k } { = } 1,2,3, \ldots )$ pри $\mathrm { k }$ осходится к единственному решению $\mathrm { H } ( \mathbf { x }, \mathbf { t } )$ задачи (13), (14), (15), (15), (17). $\Phi \mathrm { y _ { H K I I H } } \mathbf { \Phi } _ { \mathrm { H } - 1 } ( \mathbf { x }, \mathbf { t } )$, $k { = } 1,2,3$... в (21) определяется зависимостями (1), (2), (3), (4), (5), (6),(7),(8),(9),(10) и (11) и является непрерывным и ограниченным. Доказательство.Рассуждения, аналогичные (Алтынбеков 2018) и использует принцип максимума и теоремы сравнения. Согласно теореме 3.1 задачи (13), (14), (15), (16), (17) и (21), (14), (15), (16), (17) имеют единственные решения. В соответствии с принципом максимума, гипотезы В.А.Флорина (5) и теоремы сравнения для этих решений, имеем $$ H _ {1} \leq H _ {3} \leq H _ {2} \leq H _ {5} \leq H _ {4} \leq \dots \leq H _ {2 k + 1} \leq H _ {2 k}, $$ отсюда, перенумеровав и $\mathrm { { x } } H _ { 1 } = U _ { 1 }$, $H _ { 3 } = U _ { 2 }$, H2 = U3,. HMeeM U1 ≤U2 ≤ $U _ { 3 } \leq \cdots \leq U _ { 2 k - 1 } \leq U _ { 2 k }$ или U2k ≥ H1 ≤ H. Следовательно, последовательность $\{ H _ { k } \} \ \xrightarrow { \mathrm { \Pi ~ } } \mathrm { \Pi ~ } \mathrm { p } { \mathrm { \scriptscriptstyle ~ { \cal ~ k } ~ } } \infty$ $\left\{ H _ { k } \right\}$ сходится к решению $H ( x, t )$ задачи (13), (14), (15), (16), (17). Теорема доказана. Метод введения новой неизвестной функции. Метод преобразования неоднородных граничных условий в однородные. Введем новую неизвестную функцию $W _ { k } \left( x, t \right)$ $$ H _ {k} (x, t) = \psi (x, t) + W _ {k} (x, t), k = 1, 2, 3, \dots , \tag {23} $$ Эта функция является отклонением от известной функции $\psi ( x, t ) _ { \mathrm { { I } } }$ будет определена как решение уравнения $$ \begin{array}{l} \frac{\partial W_{k}}{\partial t} = C_{v}(x_{3}) \cdot \left(K_{11} \frac{\partial^{2} W_{k}}{\partial x_{1}^{2}} + K_{12} \frac{\partial^{2} W_{k}}{\partial x_{2}^{2}} + K_{13} \frac{\partial^{2} W_{k}}{\partial x_{3}^{2}}\right) + \\+ \Phi_{1,k-1}(x,t,\Phi_{k-1}(x,t)),\,k=1,2,3,\dots \tag{24} \\end{array} $$ с однородными граничными условиями $$ \chi_ {1} ^ {(1)} \frac{\partial W _ {k}}{\partial x _ {1}} - \chi_ {1} ^ {(2)} W _ {k} \right| _ {x _ {1} = - l _ {1}} = 0, \chi_ {1} ^ {(3)} \frac{\partial W _ {k}}{\partial x _ {1}} + \chi_ {1} ^ {(4)} W _ {k} \right| _ {x _ {1} = l _ {1}} = 0, \tag{25} $$ $$ \left. \chi_ {2} ^ {(1)} \frac {\partial W _ {k}}{\partial x _ {2}} - \chi_ {2} ^ {(2)} W _ {k} \right| _ {x _ {2} = - l _ {2}} = 0, \left. \chi_ {2} ^ {(3)} \frac {\partial W _ {k}}{\partial x _ {2}} + \chi_ {2} ^ {(4)} W _ {k} \right| _ {x _ {2} = l _ {2}} = 0, \tag {26} $$ $$ \chi_ {3} ^ {(1)} \frac{\partial W _ {k}}{\partial x _ {3}} - \chi_ {3} ^ {(2)} W _ {k} \right| _ {x _ {3} = 0} = 0, \chi_ {3} ^ {(3)} \frac{\partial W _ {k}}{\partial x _ {3}} + \chi_ {3} ^ {(4)} W _ {k} \right| _ {x _ {3} = h} = 0, $$ и с начальным условием $$ W _ {k} (x, \tau_ {1}) = H _ {0} (x) - \psi (x, \tau_ {1}). \tag {28} $$ Представляя функцию $\psi ( x, t )$ в виде $$ \begin{array}{l} \psi (x, t) = \left(\alpha_ {1} ^ {(1)} x _ {1} + \beta_ {1} ^ {(1)}\right) \left(\chi_ {1} ^ {(1)} + \psi_ {1} (x _ {2}, x _ {3}, t)\right) + \left(\alpha_ {2} ^ {(1)} x _ {1} + \beta_ {2} ^ {(1)}\right) \times \\\times \left(\chi_ {1} ^ {(3)} + \psi_ {2} (x _ {2}, x _ {3}, t)\right) + \left(\alpha_ {1} ^ {(2)} x _ {2} + \beta_ {1} ^ {(2)}\right) \times \\\end{array} $$ $$ \times (\chi_2^{(1)} + \psi_3(x_1,x_3,t)) + (\alpha_2^{(2)} x_2 + \beta_2^{(2)}) (\chi_2^{(3)} + \psi_4(x_1,x_3,t)) + (\alpha_1^{(3)} x_3 + \beta_1^{(3)}) (\chi_3^{(1)} + \psi_5(x_1,x_2,t)) + (\alpha_2^{(3)} x_3 + \beta_2^{(3)}) (\chi_3^{(3)} + \psi_6(x_1,x_2,t)) $$ требуем, она удовлетворяла условиям видов (15), (16) и (17).Тогда коэффициенты в (29)однозначно определяются $$ \alpha_ {1} ^ {(1)} = \frac {\chi_ {1} ^ {(4)}}{\chi_ {1} ^ {*}}, \quad \beta_ {1} ^ {(1)} = \frac {\chi_ {1} ^ {(3)} + \chi_ {1} ^ {(4)}}{\chi_ {1} ^ {*}}, \quad \alpha_ {2} ^ {(1)} = \frac {\chi_ {1} ^ {(2)}}{\chi_ {1} ^ {*}}, \quad \beta_ {2} ^ {(1)} = \frac {\chi_ {1} ^ {(1)} + \chi_ {1} ^ {(2)}}{\chi_ {1} ^ {*}}, $$ $$ \alpha_ {1} ^ {(2)} = \frac{\chi_ {2} ^ {(4)}}{\chi_ {2} ^ {*}}, \quad \beta_ {1} ^ {(2)} = \frac{\chi_ {2} ^ {(3)} + \chi_ {2} ^ {(4)}}{\chi_ {2} ^ {*}}, \quad \alpha_ {2} ^ {(2)} = \frac{\chi_ {2} ^ {(2)}}{\chi_ {2} ^ {*}}, \quad \beta_ {2} ^ {(2)} = \frac{\chi_ {2} ^ {(1)} + \chi_ {2} ^ {(2)}}{\chi_ {2} ^ {*}}, $$ $$ \alpha_ {1} ^ {(3)} = \frac{\chi_ {3} ^ {(4)}}{\chi_ {3} ^ {*}}, \quad \beta_ {1} ^ {(3)} = \frac{\chi_ {3} ^ {(3)} + \chi_ {3} ^ {(4)}}{\chi_ {3} ^ {*}}, \quad \alpha_ {2} ^ {(3)} = \frac{\chi_ {3} ^ {(2)}}{\chi_ {3} ^ {*}}, \quad \beta_ {2} ^ {(3)} = \frac{\chi_ {3} ^ {(1)}}{\chi_ {3} ^ {*}} $$ где $$ \chi_ {1} ^ {*} = \chi_ {1} ^ {(2)} \chi_ {1} ^ {(3)} + 2 \chi_ {1} ^ {(2)} \chi_ {1} ^ {(4)} + \chi_ {1} ^ {(1)} \chi_ {1} ^ {(4)}, $$ $$ \chi_ {2} ^ {*} = \chi_ {2} ^ {(2)} \chi_ {2} ^ {(3)} + 2 \chi_ {2} ^ {(2)} \chi_ {2} ^ {(4)} + \chi_ {2} ^ {(1)} \chi_ {2} ^ {(4)}, $$ $$ \chi_ {3} ^ {*} = \chi_ {3} ^ {(2)} \chi_ {3} ^ {(3)} + \chi_ {3} ^ {(2)} \chi_ {3} ^ {(4)} + \chi_ {3} ^ {(1)} \chi_ {3} ^ {(4)}. $$ Метод Фурье. Метод аппроксимации. Метод введения новых переменных. Пусть для начала: $$ \Phi_ {1, k - 1} (x, t, \Phi_ {k - 1} (x, t,) = 0, k = 1, 2, 3, \dots . $$ Тогда, согласно вышеуказанным методам, решение задачи (27), (28), (29), (30), (31) нетрудно представит так $$ \begin{array}{l} W _ {k} (x, t) = \sum_ {i _ {1} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {2} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {3} = 1} ^ {\infty} D _ {k i _ {1} i _ {2} i _ {3}} \left(\cos \frac {v _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1 1}}} x _ {1} + B _ {1 i _ {1}} \sin \frac {v _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1 1}}} x _ {1}\right) \times \\\times \left(\cos \frac {\rho_ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {1 2}}} x _ {2} + B _ {2 i _ {1 2}} \sin \frac {\rho_ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {1 2}}} x _ {2}\right) \times V _ {v i _ {1} i _ {2}} \left(\frac {2 \lambda_ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}}}{\alpha \sqrt {K _ {1 3}}} e ^ {- \frac {\alpha}{2} x _ {3}}\right) \cdot e ^ {- \lambda_ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} t}, k \in N \tag {30} \\\end{array} $$ Здесь $D _ { k i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } }$ - известные коэффициенты, определяемые в процессе решения задачи; $V _ { v i _ { 1 } i _ { 2 } } ( x _ { 3 } ) -$ функция, состоящая из комбинации функций Бесселя первого и второго рода индекса $v _ { i _ { 1 } i _ { 2 } }, \lambda _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } }; -$ положительные корни уравнения, состоящие из этих комбинаций. Для решения задачи (24), (25), (26), (27), (28),здесь мы использовали метод аппроксимации. В соответствии с этимметодом функция $1 + 2 \xi _ { 0 } e ^ { - \alpha _ { 4 } x _ { 3 } }$ в (18) заменяется функцией $\tilde { \xi } ( x _ { 3 } )$: $$ \widetilde {\xi} (x _ {3}) = (1 + 2 \xi_ {0}) e x p \left(\left(l n \frac {1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} h}}{1 + 2 \xi_ {0}}\right) \cdot \frac {x _ {3}}{h}\right), $$ функция $\alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } e ^ { - \alpha _ { 3 } x _ { 3 } }$ в (18) заменяется функцией $\widetilde { a } ( x _ { 3 } )$: $$ \tilde {a} \left(x _ {3}\right) \approx \left(\alpha_ {1} + \alpha_ {2}\right) e x p \left(\left(l n \frac {\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} h}}{\alpha_ {1} + \alpha_ {2}}\right) \cdot \frac {x _ {3}}{h}\right), $$ $$ 1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} x _ {3}} \approx (1 + 2 \xi_ {0}) e x p \left(\left(l n \frac {1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} h}}{1 + 2 \xi_ {0}}\right) \cdot \frac {x _ {3}}{h}\right), \tag {31} $$ $$ \alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} x _ {3}} \approx (\alpha_ {1} + \alpha_ {2}) e x p \left(\left(l n \frac {\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} h}}{\alpha_ {1} + \alpha_ {2}}\right) \cdot \frac {x _ {3}}{h}\right). \tag {32} $$ Далее, принимая во внимание (31) и (32), функция B (18) заменяется функцией $\tilde { C } _ { v } ( x _ { 3 } )$: $$ \frac {1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} x _ {3}}}{\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} x _ {3}}} \approx \frac {1 + 2 \xi_ {0}}{\alpha_ {1} + \alpha_ {2}} \exp \left(\left(l n \frac {\left(1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} h}\right) \left(\alpha_ {1} + \alpha_ {2}\right)}{\left(1 + 2 \xi_ {0}\right) \left(\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} h}\right)}\right) \cdot \frac {x _ {3}}{h}\right). \tag {33} $$ Легко заметить, что при $x _ { 3 } = 0 \mathrm { ~ n ~ } x _ { 3 } = h$ аппроксимация (36) абсолютно точна, и при $\alpha _ { 3 }, \alpha _ { 4 } 0$ погрешность аппроксимации стремится к нулю. Она для малых значений $\alpha _ { 3 }$ $\alpha _ { 4 }$ вполне допустимо в практических расчетах. Далее, учитывая (33), последовательно вводим новых переменных $$ y = - \frac {\alpha}{2 h} x _ {3} + \frac {1}{2} l n \frac {4 h ^ {2} \lambda^ {2}}{\alpha^ {2} K _ {1 3}} \mathrm {и} z = e ^ {y} $$ Тогда дифференциальное уравнение $$ K _ {1 3} Z ^ {\prime \prime} (x _ {3}) + (\lambda^ {2} e ^ {- \alpha x _ {3}} - (\nu^ {2} + \rho^ {2}) Z (x _ {3}) = 0 $$ легко сводится к уравнению Бесселя (Коренев 1971), общее решение которого известно. Здесь $$ \alpha = l n \frac {(1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} h}) (\alpha_ {1} + \alpha_ {2})}{(1 + 2 \xi_ {0}) (\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} h})} / h. $$ Метод разложений в собственных функциях и решение задачи. Пусть теперь: $$ \Phi_ {1, k - 1} (x, t, \Phi_ {k - 1} (x, t)) \neq 0, k = 1, 2, 3, \ldots . $$ Предполагаем, что непрерывная функция $\phi _ { 1, k - 1 } ( \boldsymbol { x }, t, \phi _ { k - 1 } ( \boldsymbol { x }, t ) )$ имеет кусочно- непрерывную производную первого порядка по $x$,и для этой функци при всех $t \geq \tau _ { 1 } > 0$ выполняется все условия типа (25),(26),(27).Тогда решение задачи (24), (25), (26), (27), (29) можно представить так $$ \begin{array}{l} W _ {k} (x, t) = \sum_ {i _ {1} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {2} = 1} ^ {\infty} \sum_ {i _ {3} = 1} ^ {\infty} T _ {k i _ {1} i _ {2} i _ {3}} (t) \left(\cos \frac {v _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1 1}}} x _ {1} + B _ {1 i _ {1}} \sin \frac {v _ {i _ {1}}}{\sqrt {K _ {1 1}}} x _ {1}\right) \times \\\times \left(\cos \frac {\rho_ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {1 2}}} x _ {2} + B _ {2 i _ {1 2}} \sin \frac {\rho_ {i _ {2}}}{\sqrt {K _ {1 2}}} x _ {2}\right). V _ {v i _ {1} i _ {2}} \left(\frac {2 \lambda_ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}}}{\alpha \sqrt {K _ {1 3}}} e ^ {- \frac {\alpha}{2} x _ {3}}\right), \tag {34} \\\end{array} $$ $$ T _ {k i _ {1} i _ {2} i _ {3}} (t) = \left(\int \Phi_ {1 k i _ {1} i _ {2} i _ {3}} ^ {*} (t) \cdot e ^ {\lambda_ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} ^ {2} t} d t + D _ {k i _ {1} i _ {2} i _ {3}}\right) e ^ {- \lambda_ {i _ {1} i _ {2} i _ {3}} ^ {2} t}. $$ Поставляя ряд (34) в (23) и учитывая (29), при $k \to \infty$ получим решение задачи (13), (14), (15), (16), (17). Следствие.Если водопроницаемость грунта в направлении оси $x _ { 1 }$ (оси $x _ { 2 }$ ) пренебрежимо мала, то легко проверить, что собственные значения $v _ { i _ { 1 } }$ $\left( \rho _ { i _ { 2 } } \right)$, характеризующие уровни пьезометрических напоров, равнынулю, а соответствующие им собственные функции, являющиеся волновыми функциями дифференциального оператора второго порядка, равны единице. В этом случае легко получить решение плоской краевой задачи из решения (37), и аналогично одномерной задачи. ## V. Определение Осадок Оснований Турбоагрегатов. Согласно методу, приведенному в работе (Флорин 1961) и полученных результатов (19),(23),(34), нетрудно определить осадок грунтового основания, вызванный нагрузкой $q$: $$ s _ {k} (t) = \frac {3 \gamma a _ {0}}{1 + \varepsilon_ {0}} \int_ {0} ^ {h} \frac {\alpha_ {1} + \alpha_ {2} e ^ {- \alpha_ {3} x _ {3}}}{1 + 2 \xi_ {0} e ^ {- \alpha_ {4} x _ {3}}} \left(H _ {0} (x) - H _ {k} (x, t)\right) d x _ {3}. \tag {35} $$ Предварительные расчеты по формуле (35) показали: - Нагрузка, приложенная на верхнюю поверхность слоя массива земляной среды, со временем передается к его скелету. - При больших значениях параметра $\alpha _ { 3 } \mathbf { { H } }$ малых значениях параметров $\alpha _ { 0 }, \alpha _ { 1 }, \alpha _ { 2 }$ уплотнение грунта не зависит от времени. Вибрационное уплотнение старого неоднородного грунта не зависит от времени, зависит от пространственных координат. - С увеличением коэффициента бокового давления уменьшается осадок грунтовых оснований. - Осадок слоя неоднородных грунтовых оснований с возрастанием параметров $\alpha _ { 3 } \mathbf { H }$ $\alpha _ { 7 }$ увеличивается, а затем постепенно уменьшается. - Возраст скелета достаточно заметно влияет на характер осадки грунтовых оснований. Это влияние может быть мало существенным только приАк, β10, β11, β2о, β21 — 0 - В начальные моменты времени вибрационное воздействие на ползучесть скелета водо- насыщенного глинистого грунта наиболее ярко проявляется, а со временем становится мало заметным. - Осадок неоднородных грунтовых оснований сильно зависит от типа граничных условий. В зависимости от них происходит обратный процесс уплотнения- набухания грунта. - Вибрационное уплотнение сильно зависит от степени влажности грунта и вяжущих веществ в почве, параметров ползучести, статической нагрузки, амплитуды и частоты колебании. В зависимости от них, при применении модернизированного вибрационного уплотнителя можно уменьшит разницу значений пористости по глубине уплотняемого основания и тем самым значительно улучшить равномерность уплотнения грунта. При этом можно достигнут значительное увеличение механических характеристик мелких и средних грунтов оснований. ## VI. Заключение Вибрационное воздействие на характер деформации плотно уплотненных грунтов зависит от вибрационного состояние турбоагрегата и от связующих веществ в составе грунта. В зависимости от них вибрационное воздействие на характер деформации плотно уплотненных грунтов может быть мало существенным, существенным, разрушительным. Всеми этими процессами можно управлять. Вопрос: как управлять – это вопрос завтрашнего дня. Работа посвящена одному из недостаточно изученных вопросов вибрационной консолидации неоднородных грунтов. Приводится новая математическая постановка задачи. Исследованы вопросы существования и единственности для нее. Обоснованы методы решения. Обоснованные методы аппроксимации и итерации являются новым вкладом в прикладную механику грунтов. Применение их позволяет изучить более сложные проблемы теории консолидации неоднородных грунтов. Полученные результаты (19),(21),(29),(34) и формула расчета (35) дает нам возможность количественного и качественного анализа в оценке влияния вибрации на осадок оснований турбоагрегатов и сооружений.

Generating HTML Viewer...