## I. INTRODUCCION Las ecuaciones diferenciales, como se las conoce, nos-ofrecen una amplia gama de aplicaciones en differentes areas[1], lo que trae cada vez más a los matemáticos yDEMás profes- sionales, desafíos para presentar soluciones a los diversos problemas que de vez en cuando o permanente enfurará el mundo social. En esta occasion, trajimos en este trabajo un enfoque de un modelo clásico de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias propues to por Kermark y McKendrick[9], el modelo SIR (Susceptibles-Infectados-Recuperados) para estudios epidemiologicos que también nos puede poderships, como es obvio en el estudio del comportamento numérico de las variables que afectan el caracterizacion de la infeccion y recuperacion de la malaria. La malaria es una enfermedad que predomina en areas con clima tropical[4] como Angola y especially en regiones con saneamento deficiente. Es una enfermedad infecciosa transmitida por mosquitos[2]. Estabamos interesados en modelar la malaria por el do que es la mayor causa de muerte en Angola y, para Presentedar una vez mas el poder de los modelos SIR que se pueda utilizez en el estudio del comportamento, no solo de la malaria sino también en otheras hermedades infecciosas y en casos de hermedades contagiosas. Como el modelo SIR es EDO, se eligió el método de Runge-Kutta de cuarto order para Presented la demostración e implementación computing y la consecuente ilustración grafica y numérica del comportamento de la enfermedad referida. obviamente, se pueda utiliser cualquier(other método que nos permit a resolver EDO[5],[7] y [3], pero como solo tuvimos que utilizes uno en este trabajo, elegimos el método stencil y eficiente en sus resultados. ## II. MODELO ENDEMICO CLÁSICO SIR Para poder es comportamiento numérico de la malaria en un intervalo de tiempo determinado, se decide el modelo SIR(Susceptibles-Infectados-Recuperados), que es modelo epidemiologico clásico. Y como la malaria en Angola es una enfermedad endémica, hemos realizado el modelo endémico clásico. El modelo endémico clásico es el modelo SIR con dinámica vital que incluye nacimiento y muerte, cuando sistemas de ecuaciones viene dato por\[8\]: $$ \left\{ \begin{array}{rl} \frac{dS}{dt} &= \mu P - \mu S - \frac{\beta IS}{P}, \\ \frac{dI}{dt} &= \frac{\beta IS}{P} - \gamma I - \mu I, \\ \frac{dR}{dt} &= \gamma I - \mu R \end{array} \right. \tag{2.1} $$ Donde$\mathrm{S(t) + I(t) + R(t) = P}$. El modelo SIR(2.1)presentado es casi igual en relación al modelo epidemiológico SIR que podemos encontrar en[8]. La diferencia es que el modelo endémico presenta un flujo de recién nacidos en la clase susceptible a tasa$\mu P$y muertes en todas las clases a tasas$\mu S$,$\mu I$y$\mu R$,$\mu > 0$. Dado que las muertes equilibran los nacimientos, entonces el tamaño de la población$P$es constante.$S$denota el número de personas susceptibles a la enfermedad,$I$es el número de infectados y$R$es el número de recuperados. También disponemos de parámetros$\beta$,$\mu$y$\gamma$. Donde$\gamma$es la tasa de recuperación,$\beta$es la tasa de infección y$\mu$es la tasa de muertes. Como el estudio se basa en la Ciudad de Cuito, suponemos que la población es fija. Como el problema se analiza en un intervalo de tiempo, es necesario establecer un momento inicial de referencia del estudio para que se pueda abarcar la ingeniosidad del análisis hasta un tiempo final. Así, desde esta perspectiva, la ecuación(2.1)tendrá la forma: $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{d S}{d t} = \mu P - \mu S - \frac{\beta I S}{P}, \quad S (0) = S _ {0} > 0, \\ \frac{d I}{d t} = \frac{\beta I S}{P} - \gamma I - \mu I, \quad I (0) = I _ {0} \geq 0, \\ \frac{d R}{d t} = \gamma I - \mu R, \quad R (0) = R _ {0} \geq 0 \end{array} \right. \tag{2.2} $$ En este caso, ahora tenemos un problema de valor inicial (PVI) de ecuación diferencial ordinaria[6] de primerorden. ## III. FORMA MATRICIAL Siendo la ecuación (2.1) un sistema de ecuaciones diferencias ordinarias de primer order, puede scribirse como sigue: $$ \left\{ \begin{array}{l l} \frac{d S}{d t} = f _ {S} (t, S, I, R) \\ \frac{d I}{d t} = f _ {I} (t, S, I, R) \\ \frac{d R}{d t} = f _ {R} (t, S, I, R) \end{array} \right. $$ Dado que es la variable independiente, S, I y R son variables independentes. Lorial presupone que en forma vectorial tenemos $$ \frac{d\underline{Y}}{dt} = \underline{F}(t,\underline{Y}) $$ Donde $$ \underline {{Y}} = S, I, R $$ ### O $$ \underline {{Y}} = \left[ \begin{array}{l} S \\I \\R \end{array} \right] $$ y $$ \underline {{F}} (t, \underline {{Y}}) = \left[ \begin{array}{l} f _ {S} (t, S, I, R) \\f _ {I} (t, S, I, R) \\f _ {R} (t, S, I, R) \end{array} \right] $$ Lo queaconsuperar el problema (2.1) como: $$ \underline {{Y}} (t) = \left[ \begin{array}{l} S (t) \\I (t) \\R (t) \end{array} \right] \Rightarrow \underline {{Y}} = \left[ \begin{array}{l} S \\I \\R \end{array} \right] $$ Entonces, PODemos scribir: $$ \underline {{F}} (t, \underline {{Y}}) = \left[ \begin{array}{c} \mu P - \mu S - \beta I S / P \\\beta I S / P - \gamma I - \mu I \\\gamma I - \mu R \end{array} \right] \underline {{Y}} (0) = \left[ \begin{array}{c} S (0) \\I (0) \\R (0) \end{array} \right] $$ La forma matricial presenta, siendo$\underline{Y}$el vector de las variables$S$,$I$y$R$, lo que nos proporciona la derivada del vector con respecto al tiempo viene dada por$\frac{dY}{dt}$, lo que proporciona una función vectorial que depende de$S$,$I$y$R$. En este caso,$\underline{F}(t, \underline{Y})$sobre$t$es una variable independiente y el vector$\underline{Y}$se queda como variable independiente en la función vectorial. ## IV. METHODOs La investigación se basó en datos proportionados por el Departamento de Salud Pública de la Oficina Provincial de Salud de Bié, Angola, con los cuales fue possible realizar prediección basada en un sistema de ecuaciones diferenciasales ordinarias, el modelo SIR y, consulta de articulos@científicos ylibros que abordan este tipo de ecuaciones y métodos con los que se buscan las respectivas soluciones. Una vez modelado el problema y identificado el modelos SIR que mejor se adapta al problema, el clásico modelo SIR endémico,@cuyos parámetros muestran la dinámica vital. Para resolver el=dicho sistemas de ecuaciones que representa el problema seutilizóel método de Runge-Kutta de cuartoorden,el cual permitió la implementación comptacional del problema. Fueutilizado el lenguaje de programacion, Octave,que es un software muy buena y es compatible con Matlab. La implantación fue teniendo en cuenta lo que sugiere la documentación de la version 7.2.0 de Octave para ecuaciones diferenciasales ordinarias, en la creación del respectivev Script. ## V. PROBLEMA MODELADO Como se dice en la introduccion, el problema que se presenta tiene como povlacion de estudio a la Ciudad de Cuito, Angola. Por ello, nosinterestinglyestudiarielcomportamiento numérico de la malaria en la citada Ciudad en losmesesdecacimbo(mayo,junio,julio yagosto), también conocido como periodode invierno, ya que en este periodo no llueve y en consecuencia bajan las temperatas e infeeciones de malaria. Así, a través del Departamento de Salud Pública de la Secretaría Provincial de Salud de Bié, habíamos solicitado datos sobre cifras de malaria. Sin embargo, nos proportionscionaron lacantidad de personas infectadas con malaria (16448),lacantidad de recuperaciones (15139),la tasa de infección $(28\%)$,la tasa de recuperaciones $(92\%)$ y la tasa de muertes $(8\%)$ para el mes de mayo de 2022. Como dato inicial para poder predecir a trovés del modelo (2.1), el com-. portimiento numérico de la malaria en los demasmeses de invierno en la Ciudad de Cuito. Interpretando los datos proportionados para (2.2), Telescope: $$ \left\{ \begin{array}{r l} \frac {d S}{d t} & = 0, 08 P - 0, 08 S - 0, 28 I S / P \\ \frac {d I}{d t} & = 0, 28 I S / P - 0, 92 I - 0, 08 I \\ \frac {d R}{d t} & = 0, 92 I - 0, 08 R \\ S (0) & = 512706, \quad t \in [ 0, 4 ] \\ I (0) & = 16448, \quad t \in [ 0, 4 ] \\ R (0) & = 15139, \quad t \in [ 0, 4 ] \end{array} \right. \tag {5.3} $$ Para resolver este problema PODemos utiliser entre various métodos posibles el de Runge-Kutta de $4^{\text{O}}$ y $2^{\text{O}}$ order, Euler, Euler Modificado, Euler Mejorado. PeroAquí preferimos usar el método de Runge-Kutta de $4^{\text{O}}$ orden porque es más simple y eficiente. ## VI. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA $4^{\circ}$ ORDEN Los métodos de Runge-Kutta de orden superior se obtiene de forma similar a los de segundo order. Los métodos deuthercer orden, por exemple, tienen la functiOn de incremento $\varnothing (x_j,y_j,h) = \alpha K_1 + \beta K_2 + \gamma K_3$ onde $K_{1}$ $K_{2}$ y $K_{3}$ seapproximan a las derivadas en various pontos del intervalo $[x_{1},x_{j + 1}]$.Donde la série de Taylor es fundamental para determinar los parámetros $\alpha,\beta$ y $\gamma$ Entre los diversos métodos de Runge-Kutta, el más popular y eficiente es: $$ Y _ {j + 1} = Y _ {j} + \frac {h}{6} (K _ {1} + 2 K - 2 + 2 K _ {3} + K _ {4}), j = 0, 1, \dots , m - 1 $$ $$ K _ {1} = f (x _ {j}, y _ {j}) $$ $$ K _ {2} = f \left(x _ {j} + \frac {h}{2}, y _ {j} + \frac {h}{2} K _ {1}\right) \tag {6.4} $$ $$ K _ {3} = f (x _ {j} + \frac {h}{2}, y _ {j} + \frac {h}{2} K _ {2}) $$ $$ K _ {4} = f (x _ {j} + h, y _ {j} + h K _ {3}) $$ El método (6.4) es de Runge-Kutta de $4^0$ 依據. Los métodos Runge-Kutta son de arranque automatico, ya que son de paso uno y no funciona con derivada de $f(x,y)[10]$. ## VII. LOS RÉSULTADOS NUMÉRICOS Con la aplicación del método de Runge-Kutta de $4^{\text{th}}$ order, se implementó el problema en Octave y resultó en los siguientes datos numéricos: Cuadro 1: Resultados numéricos de las variables S de la povlacion susceptible, I de infecciones y R de recuperacion de la malaria. <table><tr><td>t(mensual)</td><td>S</td><td>I</td><td>R</td></tr><tr><td>0</td><td>512 706.</td><td>16448.000</td><td>16448.000</td></tr><tr><td>1</td><td>509350.624</td><td>7475.339</td><td>26230.002</td></tr><tr><td>2</td><td>508093.560</td><td>3391.846</td><td>29221.579</td></tr><tr><td>3</td><td>507763.644</td><td>1538.129</td><td>29238.034</td></tr></table> Los resultados de la tabla son mucho más claros en los graficos seguides, ya que ilustran el comportamiento visual de las variables de Interés:    Figura 1: Gráficos de las variables Población Susceptible a), Infección b) y Recuperación c) de la malaria en invierno en la Ciudad Cuito, 2022. Como se pueda observar del comportamento de la recuperación c), se puedaunar que existe un crecimiento en la grafica que en un momento dato hace una inversion lenta y bajo descienda,esto se justifica por la tasa alta de recuperacion, $92\%$,que contrasta con la tasa de infecction que es de $28\%$,eskaar,debido a la reduccion de infecciones b), la subida de la grafica de recuperacion va disminuyendo. Por otro lado, senota que la grafica de infecciones b), descienda en tiempo debido a su tasa relativamente baja. Estas infecaciones no dependen de los recuperados, ya que la malaria no es una enfermedad contagiosa y su medicación no offre innmunidad, esteultimate criterio solo justifica el comportamento del lento descenso de la grafica de povlacion susceptible a), los recuperados aparecen y también se converten en povlacion susceptible. En este caso, se pueda verificar en la grafica seguiente que descienden las infecciones y crecen las recuperaciones hasta mas o menos al mes de Julio y.afteres de ese comienza el descenso:  Figura 2: Grá fisicos de las Infecciones y Recuperaciones de la malaria en la Ciudad de Cuito, Bié, Angola en invierno 2022. ## VIII. CONCLUSION Por lo tanto, el modelo del sistema de ecuaciones diferencias ordinarias utilizado, modelos endémico SIR, su poder y uso en los problemas de evolución, por lo que nos ayuda a realizar experimentos para estudios de ambientes infecciosos, desde el punto de vista sanitario. Por otherwise, el método de Runge-Kutta muestra en su semiclassical una eficciencia en los resultados. Y, los resultados del experimento demuestran una dependencia de las recuperaciones en relacion a las infeciones, ya que como hemos visto en el comportamiento grafico de las dos variables, hay un descenso en las recuperaciones porque hay también bajas en las infeciones.

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